RGB⇔YCbCr変換

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久しぶりに画像ネタを


世の中には RGB だとか、YCbCr だとかという色空間があって、
その相互変換について。

変換式については ITU-T BT.601 や BT.709 という規格書で定義されています。
(色空間については、これ以外にも規格があります。)

正確には、画像フォーマットの YCbCr ではなく、ビデオ信号の YCbCr の話です。
D端子ケーブルとか、Composite(NTSC)ケーブルとかを流れるデータ信号の事です。


その Bt.601には次のように書かれています。

ITU-R BT.609
Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B
CB = 0.564(B - Y)
CR = 0.713(R - Y)

CB	= 0.564(B - Y)
	= 0.564(B - (0.299R + 0.587G + 0.114B))
	= -0.169R - 0.331G + 0.500B

の様に計算すると RGB→YCbCr行列式が得られる。

	Y		＝		0.299	0.587	0.114		×		R
	CB				-0.169	-0.331	0.500				G
	CR				0.500	-0.419	0.081				B

実は、この C_B = 0.564(B - Y) の 0.564という数値、
次の計算式により与えられます。

0.564 ≒	0.500
	(1.000 - 0.114)

	0.299	0.587	0.114
	-0.169	-0.331	0.500
	0.500	-0.419	0.081

つまり、0.564 は計算誤差を含んだ値です。

この

Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B

という式、0.299 などの係数値がどこから来たのかよく知りませんが、
仮に、0.299 が 0.29900000 のように、小数点第４位以下がゼロだと仮定すると
以下の行列 A と A^-1 の青文字は理論的に小数点第４位以下がゼロとなる部分です。

A ＝		0.299	0.587	0.114
		-0.169	-0.331	0.500
		0.500	-0.419	0.081

A-1 ＝		1.000	0.000	1.402
		1.000	-0.344	-0.714
		1.000	1.772	0.000

実際には、BT.601 規格の中に (R,G,B)→(Y,Cb,Cr) の変換係数が
小数点第３位までの値として明記されていますから、
（※逆変換(Y,Cb,Cr)→(R,G,B)は書かれていない。）

A ＝		0.299	0.587	0.114
		-0.169	-0.331	0.500
		0.500	-0.419	0.081

A-1 ＝		1.000	0.000	1.402
		1.000	-0.344	-0.714
		1.000	1.772	0.000

青文字と緑文字: BT.601 に記述がある(or 自明な)係数値
赤文字: BT.601 に記述が無い係数値
となります。
たとえば A^-1 の 1.402 は次の式から計算できます。
Cr=(0.5/(1-0.299))(R-Y)

赤文字の係数は小数第３位で切ってしまうと、誤差があるかもしれない部分です。
とは言え『記述の係数値が第３位なら、記述が無い数値も第３位』と考えるのが普通でしょう。

実際、A^-1×A の値を計算すると、

	1.000	0.000	1.402		×		0.299	0.587	0.114
	1.000	-0.344	-0.714				-0.169	-0.331	0.500
	1.000	1.772	0.000				0.500	-0.419	0.081

＝		1.000	-0.00044	0.000438
		0.000136	1.00003	-0.00017
		-0.00047	0.000468	1.000

となるので、これらの係数値を用いても、
行列の積は小数第３位の計算精度が得られる事になります。
(一般に、有効桁数は掛け算によって少なくなりますから、
　この係数は、たまたま良い値だった、と言えるでしょう。)


別の規格書 BT.709 には次のような RGB→YCbCr 計算式が載っています。

ITU-R BT.709
1250/50/2:1
Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B
CB = 0.564(B - Y)
CR = 0.713(R - Y)
1125/60/2:1
Y = 0.2126R + 0.7152G + 0.0722B
CB = 0.5389(B - Y)
CR = 0.6350(R - Y)

上側の計算式は BT.601と同じ係数です。
下側の計算式はそれとは違います。
係数値が違いますが、桁数も３桁から４桁になっています。

SDサイズは上側の係数
HDサイズは下側の係数
と考えて良いです。
SD(Standard Definition)というのは720x480や720x576サイズ、
HD(High Definision)は1280x720,1920x1080サイズ、
と考えて良いです。

ここでは次のように書くことにしましょう。

(SD)Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B

(HD)Y = 0.2126R + 0.7152G + 0.0722B

困った事に、BT.709 にはこの計算式しか記述がありません。

(HD)A ＝		0.2126	0.7152	0.0722
		?	?	0.5000
		0.5000	?	?

(HD)A-1 ＝		1.0000	0.0000	1.5748
		1.0000	?	?
		1.0000	1.8556	0.0000

赤文字の?は行間を読むしかありません。

BT.601と同じ考え方で RGB→(HD)YCbCrの係数値を計算すると、

(HD)A ＝		0.2126	0.7152	0.0722
		-0.1146	-0.3854	0.5000
		0.5000	-0.4542	-0.0458

となります。(小数第４位までで四捨五入しています。)

では、逆行列はどう計算すればよいのでしょうか？
そのまま計算すると期待値と違う結果になります。

	0.2126	0.7152	0.0722		-1
	-0.1146	-0.3854	0.5000
	0.5000	-0.4542	-0.0458

＝		1	-0.000151501	1.574765276
		1	-0.187280216	-0.468124625
		1	1.855609686	0.00010574

※Microsoft Excel の "MINVERSE" という機能で計算した逆行列です。

なので、BT.601の時に計算した様に、

0.5389 ≒	0.5000
	(1.0000 - 0.0722)

0.6350 ≒	0.5000
	(1.0000 - 0.2126)

という所に立ち戻って逆行列を計算しなければなりません。

Microsoft Excel で逆行列を計算すると次のようになりました。

	1	-2.28E-17	1.5748
	1	-0.187324273	-0.468124273
	1	1.8556	0

小数第４位まで四捨五入して次の逆行列を得ます。

(HD)A-1 ＝		1.0000	0.0000	1.5748
		1.0000	-0.1873	-0.4681
		1.0000	1.8556	0.0000

念のため、(HD)A^-1×(HD)A の値を計算すると、

	1.0000	0.0000	1.5748		×		0.2126	0.7152	0.0722
	1.0000	-0.1873	-0.4681				-0.1146	-0.3854	0.5000
	1.0000	1.8556	0.0000				0.5000	-0.4542	-0.0458

＝		1	-7.42E-5	7.42E-5
		1.46E-5	0.99999644	-1.10E-5
		-5.18E-5	5.18E-5	1

と小数第４位までの精度が保たれているので、この係数で確定して良さそうです。

さて、ここで１つお知らせがあります。
BT.601やBT.709には、上記の変換式の他に
次の様な記述があります。

8-bit coding時の Range
Y	16～235
CB,CR	16～240

これは「8bitのフルレンジ(0～255)ではなく上記の値に縮小しなさい」と言っています。

BT.601やBT.709はビデオ信号の規格なので、
ブランキング区間などの関係でフルレンジは使えないのです。

これを加味した計算式は次のようになります。

(SD)Y = (0.299R + 0.587G + 0.114B)×219.0 / 255.0 + 16.0;
(SD)Cb = (-0.169R - 0.331G + 0.500B)×224.0 / 255.0 + 128.0;
(SD)Cr = (0.500R - 0.419G - 0.081B)×224.0 / 255.0 + 128.0;

ただし、Y,Cb,Crが Range に納まるように飽和演算(丸め処理)すること。

Y' = ((SD)Y - 16.0)×255.0 / 219.0;
Cb' = ((SD)Cb - 128.0)×255.0 / 224.0;
Cr' = ((SD)Cr - 128.0)×255.0 / 224.0;
R = 1.000Y' + 1.402Cr';
G = 1.000Y' - 0.344Cb' - 0.714Cr';
B = 1.000Y' + 1.772Cb';

ただし、R,G,Bが 1～255 のRange に納まるように飽和演算すること。

(HD)Y = (0.2126R + 0.7152G + 0.0722B)×219.0 / 255.0 + 16.0;
(HD)Cb = (-0.1146R - 0.3854G + 0.5000B)×224.0 / 255.0 + 128.0;
(HD)Cr = (0.5000R - 0.4542G - 0.0458B)×224.0 / 255.0 + 128.0;

ただし、Y,Cb,Crが Range に納まるように飽和演算すること。

Y' = ((HD)Y - 16.0)×255.0 / 219.0;
Cb' = ((HD)Cb - 128.0)×255.0 / 224.0;
Cr' = ((HD)Cr - 128.0)×255.0 / 224.0;
R = 1.0000Y' + 1.5748Cr';
G = 1.0000Y' - 0.1873Cb' - 0.4681Cr';
B = 1.0000Y' + 1.8556Cb';

ただし、R,G,Bが 1～255 のRange に納まるように飽和演算すること。

さて、世の中には YCbCr の他に YPbPr という色空間の呼び方があります。
この違いは何でしょうか？

とあるウィキペディアに「SDTVがYCbCrでHDTVはYPbPr」と書かれていました。

BT.709にはそんな事は書かれていません。
別の規格でしょうか？

世の中には諸説飛び交っています。
Tektronix の "A Guide to Standard and High-Definition Digital Video Measurements"
という資料によれば、
デジタル信号は YCbCr で、アナログComponent信号が YPbPr のようです。

1125/60/2:1 (SMPTE 240M)
Y = 0.212R + 0.701G + 0.087B
1920x1080 (SMPTE 274M) 1280x720 (SMPTE 296M)
Y = 0.2126R + 0.7152G + 0.0722B
525/59.94/2:1 625/50/2:1 1250/50/2:1
Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B